İşte sayı teorisi hakkında kapsamlı bir bilgi içeren bir markdown dokümanı:
# Sayı Teorisi
Sayı teorisi, matematiğin tam sayılar ve onların özellikleriyle ilgilenen bir dalıdır. Özellikle bölünebilirlik, asal sayılar, [kongrüanslar](https://www.nedemek.page/kavramlar/kongrüanslar) ve [Diophantine denklemleri](https://www.nedemek.page/kavramlar/Diophantine%20denklemleri) gibi konuları inceler. Sayı teorisi, hem kendi içinde güzel ve derin sonuçlar sunar, hem de kriptografi, bilgisayar bilimi ve fizik gibi diğer alanlarda önemli uygulamalara sahiptir.
## Temel Kavramlar
### 1. Tam Sayılar
Tam sayılar kümesi, negatif sayılar, sıfır ve pozitif sayıları içerir: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Sayı teorisi genellikle tam sayılar üzerinde tanımlanmış ilişkileri ve işlemleri inceler.
### 2. Bölünebilirlik
Bir tam sayı *a*, başka bir tam sayı *b* ile tam bölünüyorsa, *b* = *ka* olacak şekilde bir *k* tam sayısı vardır. Bu durumda, *a*, *b*'nin bir bölenidir ve *b*, *a*'nın bir katıdır.
### 3. Asal Sayılar
[Asal sayılar](https://www.nedemek.page/kavramlar/asal%20sayılar), 1'den ve kendisinden başka böleni olmayan 1'den büyük tam sayılardır. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13... asal sayılardır. [Asal sayıların](https://www.nedemek.page/kavramlar/asal%20sayılar) sonsuz sayıda olduğu Öklid tarafından kanıtlanmıştır.
**Asal Sayı Teoremi:** Asal sayıların dağılımı hakkında önemli bir sonuçtur. π(x) , x'den küçük veya eşit olan asal sayıların sayısını gösterirse, Asal Sayı Teoremi şu şekilde ifade edilir:
lim (x→∞) π(x) / (x / ln(x)) = 1
### 4. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK)
İki veya daha fazla tam sayının en büyük ortak böleni (EBOB), bu sayıların tümünü bölen en büyük tam sayıdır. En küçük ortak kat (EKOK) ise, bu sayıların tümünün katı olan en küçük pozitif tam sayıdır. [Öklid algoritması](https://www.nedemek.page/kavramlar/Öklid%20algoritması), EBOB'u bulmak için verimli bir yöntemdir.
### 5. Kongrüanslar
*a* ve *b* tam sayıları, *m* pozitif tam sayısı ile bölündüğünde aynı kalanı veriyorsa, *a* ve *b*, *m* modülüne göre kongrüandır denir. Bu durum, *a ≡ b (mod m)* şeklinde gösterilir. [Kongrüanslar](https://www.nedemek.page/kavramlar/kongrüanslar), sayı teorisinde denklik ilişkilerini incelemek için kullanılır ve [modüler aritmetik](https://www.nedemek.page/kavramlar/modüler%20aritmetik) olarak bilinen bir sistemin temelini oluşturur.
### 6. Diophantine Denklemleri
[Diophantine denklemleri](https://www.nedemek.page/kavramlar/Diophantine%20denklemleri), değişkenleri sadece tam sayı değerleri alabilen ve genellikle birden fazla çözümü olan polinom denklemleridir. Ünlü örnekler arasında [Fermat'nın Son Teoremi](https://www.nedemek.page/kavramlar/Fermat'nın%20Son%20Teoremi) (çözümsüzlüğü kanıtlanmıştır) ve [Pell denklemi](https://www.nedemek.page/kavramlar/Pell%20denklemi) bulunur.
## Sayı Teorisinin Alt Alanları
### 1. Analitik Sayı Teorisi
Analitik sayı teorisi, sayı teorisi problemlerini çözmek için analiz yöntemlerini (özellikle karmaşık analiz) kullanır. Örneğin, asal sayıların dağılımı, [Riemann zeta fonksiyonu](https://www.nedemek.page/kavramlar/Riemann%20zeta%20fonksiyonu) ve Dirichlet serileri gibi araçlarla incelenir.
### 2. Cebirsel Sayı Teorisi
Cebirsel sayı teorisi, tam sayıların genellemeleri olan cebirsel tam sayıları ve sayı alanlarını inceler. Bu alan, [Fermat'nın Son Teoremi](https://www.nedemek.page/kavramlar/Fermat'nın%20Son%20Teoremi) gibi problemlerin çözümünde önemli rol oynamıştır.
### 3. Geometrik Sayı Teorisi
Geometrik sayı teorisi, tam sayıların ve rasyonel sayıların geometrik özelliklerini inceler. Özellikle, [Minkowski teoremi](https://www.nedemek.page/kavramlar/Minkowski%20teoremi) gibi sonuçlar, sayı teorisi problemlerini çözmek için kullanılır.
### 4. Kombinatoryal Sayı Teorisi
Kombinatoryal sayı teorisi, kombinatoryal yöntemleri kullanarak sayı teorisi problemlerini çözer. Örneğin, [Schur teoremi](https://www.nedemek.page/kavramlar/Schur%20teoremi) ve [Van der Waerden teoremi](https://www.nedemek.page/kavramlar/Van%20der%20Waerden%20teoremi) bu alandaki önemli sonuçlardır.
## Önemli Teoremler ve Problemler
* **[Fermat'nın Son Teoremi](https://www.nedemek.page/kavramlar/Fermat'nın%20Son%20Teoremi):** n > 2 olmak üzere, a<sup>n</sup> + b<sup>n</sup> = c<sup>n</sup> denkleminin tam sayılarda çözümü yoktur.
* **[Riemann Hipotezi](https://www.nedemek.page/kavramlar/Riemann%20Hipotezi):** [Riemann zeta fonksiyonunun](https://www.nedemek.page/kavramlar/Riemann%20zeta%20fonksiyonu) sıfırlarının dağılımı hakkında bir varsayımdır ve çözülmemiş en önemli matematik problemlerinden biridir.
* **Goldbach Sanısı:** 2'den büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceği varsayımıdır. Hala kanıtlanmamıştır.
* **[Çin Kalan Teoremi](https://www.nedemek.page/kavramlar/Çin%20Kalan%20Teoremi):** [Kongrüans](https://www.nedemek.page/kavramlar/kongrüans) sistemlerinin çözümünü bulmak için kullanılan bir teoremdir.
* **[Wilson Teoremi](https://www.nedemek.page/kavramlar/Wilson%20Teoremi):** p bir asal sayı ise (p-1)! ≡ -1 (mod p)
## Uygulamalar
* **Kriptografi:** Sayı teorisi, özellikle asal sayılar ve modüler aritmetik, [RSA](https://www.nedemek.page/kavramlar/RSA) gibi modern şifreleme algoritmalarının temelini oluşturur.
* **Bilgisayar Bilimi:** Hashing algoritmaları, rastgele sayı üretimi ve hata düzeltme kodları gibi alanlarda sayı teorisi kullanılır.
* **Fizik:** Bazı fiziksel sistemlerin modellenmesinde ve analizinde sayı teorisi kavramları ortaya çıkar.
## Tarihçe
Sayı teorisi, matematiğin en eski dallarından biridir. Antik Yunan matematikçileri (Öklid, Pisagor) ve Hint matematikçileri (Aryabhata, Brahmagupta) sayı teorisine önemli katkılarda bulunmuşlardır. 17. ve 18. yüzyıllarda [Fermat](https://www.nedemek.page/kavramlar/Fermat), Euler ve [Gauss](https://www.nedemek.page/kavramlar/Gauss) gibi matematikçiler sayı teorisinin gelişimine büyük katkı sağlamışlardır. 20. yüzyılda ise [Alan Turing](https://www.nedemek.page/kavramlar/Alan%20Turing) ve diğer bilim insanları sayesinde bilgisayar bilimleri ile sayı teorisi arasındaki bağ güçlenmiştir.
## Sonuç
Sayı teorisi, derin ve karmaşık yapısıyla matematiğin temel bir dalıdır. Hem teorik olarak ilginç sonuçlar sunar, hem de pratik uygulamalara sahiptir. Günümüzde hala birçok çözülmemiş problemi barındırması, sayı teorisini aktif bir araştırma alanı yapmaktadır.