karmaşık sayılar ne demek?

Karmaşık sayılar, reel sayılar kümesini genişleterek elde edilen bir sayı sistemidir. Temel olarak, bir reel kısım ve bir sanal kısımdan oluşurlar.

Tanım:

Bir karmaşık sayı, "a + bi" şeklinde ifade edilir. Burada:

• "a", reel kısım (gerçek kısım) olarak adlandırılır.
• "b", sanal kısım olarak adlandırılır.
• "i", sanal birimdir ve i² = -1 özelliğini taşır. Bu, sanal birim'in tanımıdır.

Gösterim:

Karmaşık sayılar genellikle "z" harfi ile gösterilir. Örneğin, z = 3 + 4i. Bir karmaşık sayının reel kısmı Re(z) = a ve sanal kısmı Im(z) = b şeklinde gösterilir.

Karmaşık Sayılarda İşlemler:

• Toplama: İki karmaşık sayıyı toplamak için reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Çıkarma: Toplamaya benzer şekilde, (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
• Çarpma: (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
• Bölme: Bölme işlemi, eşlenik kullanılarak yapılır. Karmaşık eşlenik, bir karmaşık sayının sanal kısmının işaretinin değiştirilmesiyle elde edilir (örneğin, a + bi'nin eşleniği a - bi'dir).
• Eşlenik: Bir z=a+bi karmaşık sayısının eşleniği z̄= a - bi şeklinde gösterilir. Eşlenik, karmaşık sayılarla ilgili birçok hesaplamada önemli bir rol oynar.

Karmaşık Düzlem:

Karmaşık sayılar, karmaşık düzlemde temsil edilebilir. Bu düzlemde yatay eksen reel eksen, dikey eksen ise sanal eksendir. Bir karmaşık sayı (a + bi), (a, b) noktası olarak karmaşık düzlemde işaretlenir. Karmaşık düzlem, karmaşık sayıların geometrik yorumlanmasına olanak tanır.

Kutupsal Gösterim:

Karmaşık sayılar, kutupsal koordinatlar kullanılarak da ifade edilebilir. Bir karmaşık sayının kutupsal gösterimi, r(cos θ + i sin θ) şeklindedir. Burada:

• "r", karmaşık sayının modülü veya mutlak değeridir ve karmaşık düzlemdeki orijinden olan uzaklığını temsil eder. |z| = √(a² + b²) şeklinde hesaplanır.
• "θ", karmaşık sayının argümanı veya açısıdır ve reel eksen ile karmaşık sayıyı birleştiren doğru arasındaki açıyı temsil eder. Karmaşık sayı argümanı

Uygulamalar:

Karmaşık sayılar, matematik, fizik, mühendislik (özellikle elektrik mühendisliği ve sinyal işleme), bilgisayar bilimi gibi birçok alanda kullanılır. Özellikle alternatif akım devrelerinin analizi, kuantum mekaniği ve fraktal geometri gibi konularda önemli bir rol oynarlar. Karmaşık sayıların uygulamaları oldukça geniştir.