dirac denklemi ne demek?

Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac'tan alan spinli ve göreli kuantum mekaniği denklemi,

$$\gamma^\mu p_\mu c \mathbf{\Psi} = m_0 c^2 \mathbf{\Psi}$$ şeklinde ifade edilebilir. Burada;

göstermektedir. Ayrıca $\Psi$, dört tane karmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristir ve olasılığın dalga fonksiyonudur. Bu dört sayı da iki gruba ayrılır:

$$\Psi = \begin{bmatrix} \Psi^+ \ \Psi^- \end{bmatrix}$$ Buradaki $\Psi^+$ ve $\Psi^-$, Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır. $\Psi^+$ dönücüsü, pozitif enerjileri, $\Psi^-$ negatif enerjileri ifāde eder. Bunlar da

|- |$\Psi^+ = \begin{bmatrix} \psi^+ \ \phi^+ \end{bmatrix}$ | ve |$\Psi^- = \begin{bmatrix} \psi^- \ \phi^- \end{bmatrix}$ |} olarak tanımlanır. $\psi$ yukarı dönü ve $\phi$ aşağı dönü olarak anlam kazanır. Yani, dalga fonksiyonu;

$$\Psi = \begin{bmatrix} \psi^+ \ \phi^+ \ \psi^- \ \phi^- \end{bmatrix}$$ şeklindedir.

Serbest parçacık için Dirac denklemi

Dırac denklemlerinde $\mu = 0$ bileşenini ayırıp gerisi için i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz. Minkowski uzayzamanı), Dirac denklemi;

$$\gamma^0 p_0 c \mathbf{\Psi} + \gamma^i p_i c \mathbf{\Psi} = m_0 c^2 \mathbf{\Psi}$$ biçiminde yazılabilir. Dirac matrisleri; I, birim matris olmak üzere

|- |$\gamma^0 = \begin{bmatrix} 0 && I \ I && 0 \end{bmatrix}$ | ve | $\gamma^i = \begin{bmatrix} 0 && \sigma^i \ -\sigma^i && 0 \end{bmatrix}$ |} olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir. Bunlar yerine konunca Dirac denklemi,

$$\begin{bmatrix} 0 && p_0 c + \sigma^i p_i c \ p_0 c - \sigma^i p_i c && 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Psi^+ \ \Psi^-\end{bmatrix} = m_0 c^2 \begin{bmatrix} \Psi^+ \ \Psi^-\end{bmatrix}$$ biçimini alır. Matris çarpımı yapılırsa, çiftlenimli denklemler elde edilir:

$$\left( p_0 c - \sigma^i p_i c \right) \Psi^- = m_0 c^2 \Psi^+$$

$$\left( p_0 c + \sigma^i p_i c \right) \Psi^+ = m_0 c^2 \Psi^-$$ Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir. Buradan, göreliliğin en önemli denklemlerinden biri elde edilir:

$$p_0^2 c^2 - p_i^2 c^2 = m_0^2 c^4$$ Burada $p_0 c = E = m c^2$ ve $p_i^2 = p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 = |\mathbf{p}|^2$ olduğundan ifade,

$$E^2 - |\mathbf{p}|^2 c^2 = m_0^2 c^4$$ şeklindedir. Buradan E için pozitif ve negatif değerler gelir.

Elektromanyetik alanda Dirac denklemi

Denklemdeki dörtmomentum işlemcisine elektromanyetik potansiyeli dahil edersek:

$$p_\mu \rightarrow p_\mu - \frac{e}{c} A_\mu$$ denklem,

$$\gamma^\mu \left( p_\mu c - e A_\mu \right)\mathbf{\Psi} = m_0 c^2 \mathbf{\Psi}$$ biçimine gelir. Buradaki $A_\mu$, elektromanyetik dörtpotansiyeldir ve e elektriksel yüktür.

Orijinal kaynak: dirac denklemi. Creative Commons Atıf-BenzerPaylaşım Lisansı ile paylaşılmıştır.